Berdasarkan buku "Mathematics in the Time of the Pharaohs", pembahasan mengenai luas lingkaran dan nilai Pi ($\pi$) berpusat pada Masalah 50 dan Masalah 48 dari Papirus Matematika Rhind (RMP). Berikut adalah penjelasan rincinya:
1. Metode Menghitung Luas Lingkaran (Masalah 50) Dalam Masalah 50, juru tulis A'h-mose menghitung luas ladang berbentuk lingkaran dengan diameter 9 khet. Ia memberikan instruksi atau aturan yang sangat spesifik:
- Aturan: "Kurangi sepersembilan (1/9) dari diameternya... Kalikan sisanya dengan dirinya sendiri."
- Penerapan: Diameter lingkaran adalah 9. Sepersembilan dari 9 adalah 1. Sisa setelah pengurangan adalah 8 ($9 - 1 = 8$). Kemudian, 8 dikuadratkan ($8 \times 8$) menghasilkan 64.
- Kesimpulan: Luas lingkaran tersebut adalah 64 setat.
Dalam notasi modern, jika $d$ adalah diameter, rumusnya adalah: $$Luas = \left(d - \frac{1}{9}d\right)^2 = \left(\frac{8}{9}d\right)^2$$
2. Nilai Pi ($\pi$) Mesir Kuno Dari rumus di atas, kita dapat menurunkan nilai $\pi$ yang digunakan secara implisit oleh orang Mesir.
- Rumus modern untuk luas lingkaran adalah $A = \pi r^2$ atau $A = \frac{\pi}{4}d^2$.
- Rumus Mesir adalah $A = (\frac{8}{9}d)^2 = \frac{64}{81}d^2$.
- Dengan menyamakan kedua rumus ($\frac{\pi}{4} = \frac{64}{81}$), kita mendapatkan nilai $\pi$: $$\pi = \frac{256}{81}$$
- Nilai Desimal: Nilai ini kira-kira sama dengan 3.1605,.
- Akurasi: Buku ini menekankan bahwa nilai ini sangat akurat untuk zaman tersebut, hanya meleset sekitar 0,6% dari nilai sebenarnya (3.14159...).
3. Asal-usul Rumus: "Squaring the Circle" (Masalah 48) Buku ini menjelaskan bagaimana orang Mesir mungkin menemukan rumus ini melalui Masalah 48 RMP, yang berisi diagram geometris.
- Interpretasi Diagram: Awalnya diagram ini dianggap sebagai lingkaran yang dilingkupi persegi. Namun, penulis (Gillings) dan ahli lain (Vogel) berpendapat bahwa diagram tersebut sebenarnya menggambarkan sebuah oktagon (segi delapan) yang dibuat di dalam persegi berukuran $9 \times 9$.
- Logika Geometris:
- Luas persegi $9 \times 9$ adalah 81.
- Jika keempat sudut persegi dipotong (trisecting sisi-sisinya) untuk membuat oktagon, luas yang terbuang dari sudut-sudut tersebut adalah total 18 unit.
- Sisa luas oktagon adalah $81 - 18 = 63$.
- Nilai 63 ini sangat dekat dengan 64, yang merupakan kuadrat dari 8 ($8^2$).
- Kesimpulan: Orang Mesir menyimpulkan bahwa luas lingkaran (yang didekati oleh oktagon tersebut) kira-kira sama dengan luas sebuah persegi dengan sisi 8 (atau 8/9 dari diameter aslinya). Penulis menyebut A'h-mose mungkin sebagai "penemu kuadrat lingkaran" (circle-squarer) pertama dalam sejarah yang tercatat.
Penemuan ini dianggap sebagai pencapaian geometri dua dimensi terbaik bangsa Mesir Kuno karena pendekatannya yang sangat dekat untuk keperluan praktis.